Perché i puff gaussiani sono Gaussiani?

“Watson, la faccenda è alquanto oscura.”

Eh, già: nei modelli a puff per riprodurre le concentrazioni nello spazio si usano dei puff, appunto, Gaussiani.

Ma certo, verrebbe da dire. Per forza. Così stanno le cose per pura abitudine, perché i modelli a puff sono venuti dopo quelli stazionari Gaussiani, e devono quindi avere ereditato qualcosa da quest’ultimi.

A giudicare dall’espressione del suo volto, anche quel signore dal buffo cappello, la strana pipa e la lente, parrebbe condividere la mia perplessità al riguardo.

Qualcosa, in effetti, non torna.

I modelli a puff sono Lagrangiani, o così almeno si dice.

E di un modello Lagrangiano possiamo dire tutto, tranne che sia stazionario, ed in particolare Gaussiano.

Forse, il pragmatico assistente di quel signore sopra evocato suggerirebbe l’unica cosa sensata da fare, ovvero, un minimo d’ordine. E così, prima ancora ch’egli apra bocca, vediamo di provarci.

Un esperimento mentale

“Facciamo finta che…?” Chissà quante volte ce lo saremo detto, nella nostra infanzia.

Potrebbe essere il caso di rifarlo, adesso, da grandi.

Facciamo finta, allora, di abbandonare uno sciame di “particelle” al vento. Per semplificare le cose, immaginiamo pure che queste particelle siano fatte della stessa sostanza dell’aria, ed anzi, che siano proprio dei volumetti di aria vera e propria, abbastanza grandi da contenere tante molecole che abbia senso esprimere un loro stato, caratterizzato da variabili macroscopiche come posizione, velocità, pressione e temperatura; al contempo, però, così piccole da rimanere pressappoco invariate per forma anche nel rimescolamento turbolento più intenso.

Ora, facciamo finta che le particelle condividano tutte la stessa posizione iniziale (cosa fisicamente assurda, ma, facciamo finta), e che la loro velocità coincida in ogni istante con la somma vettoriale della velocità del vento in quell’istante ed in quel punto preciso, e di una fluttuazione casuale con errore quadratico medio proporzionale all’intensità dell’energia cinetica turbolenta.

Concentriamo, per semplicità, tutta la nostra attenzione su questa posizione “media”. Anzi, meglio ancora: immaginiamo che il vento medio sia esattamente nullo, cosicché questa posizione media coincida esattamente con la posizione iniziale delle particelle, e da lì non si muova mai – cosa essenziale, per evitare il mal di mare cognitivo.

E adesso (ultimo passaggio), facciamo finta che il moto di ogni particella non influenzi né sia influenzato da quello delle altre particelle.

Cosa accadrà? Che, per forza di cose, le particelle si dissemineranno, per effetto delle fluttuazioni casuali, attorno alla posizione media. A livello microscopico, ogni particella seguirà un percorso indipendente da quello delle altre, e determinato da un processo del tipo “camminata a caso nel continuo”.

Le camminate a caso nel continuo da parte di più particelle

Proseguendo nel nostro esperimento mentale, per arrivare ad una situazione calcolabile dobbiamo ancora decidere due cose:

  • Qual’è il passo temporale delle camminate?
  • E, qual’è la distribuzione statistica degli spostamenti ad ogni passo?

Per semplificare le cose, partiamo con una sola dimensione: le nostre particelle sono libere di muoversi solo lungo l’asse delle x.

Ora, scegliamo un passo temporale fisso, dal valore qualsiasi (in teoria, il passo temporale potrebbe essere variabile nel tempo, e diverso da una particella all’altra).

E supponiamo, infine, che la distribuzione di ogni spostamento sia uniforme, con limiti inferiore e superiore uguali a -1 e +1 rispettivamente.

Se immaginiamo di generare una pluralità di particelle tutte inizialmente nell’origine (x=0), e di assoggettarle ad un singolo passo, otteniamo per le loro posizioni a spostamento avvenuto un istogramma come quello presentato in figura:

Istogramma delle posizioni delle particelle dopo il primo passo.

Adesso, con le particelle nelle loro nuove posizioni, compiamo un nuovo passo, sempre con distribuzione uniforme tra -1 e +1. Questo il risultato:

Istogramma delle posizioni delle particelle dopo il secondo passo

Un altro passo ancora:

Istogramma delle posizioni delle particelle dopo il terzo passo

Dopo 7 passi:

Istogramma delle posizioni delle particelle dopo 7 passi

Credo si intuisca dove voglio andare a parare: se la distribuzione degli spostamenti ad ogni passo è uniforme, quella delle posizioni delle particelle diviene praticamente indistinguibile da una normale già dopo pochissimi passi.

La cosa funziona esattamente allo stesso modo, se invece che una dimensione ne consideriamo due:

Istogramma delle posizioni 2D dopo un passo
Istogramma delle posizioni 2D dopo due passi
Istogramma delle posizioni 2D dopo 3 passi

Lo stesso si può dire con tre o più dimensioni, e, “qualunque” sia la distribuzione dei singoli spostamenti.

Questo effetto è conseguenza del Teorema Limite Centrale della Teoria della Probabilità, ed è garantito per una vastissima classe di distribuzioni deli spostamenti (tanto vasta, da contenere tutte quelle possibili o ipotizzabili in Natura).

Ecco quindi la risposta: non esiste alcuna ragione perché i puff, che rappresentano la distribuzione delle posizioni di una schiera “infinita” di particelle coeve rilasciate dalla medesima sorgente, non debba essere Gaussiana.

E la cosa non ha nulla, ma proprio nulla, a che vedere con la Gaussianità di molti modelli stazionari…

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