I modelli di dispersione e gli odori.

Prima parte: i modelli stazionari

Cosa sono i “modelli stazionari“?

Spesso accade di voler stimare la concentrazione di una sostanza odorifera in tutti i punti del suolo, cosa impossibile per via di misura dato il carattere locale delle misure stesse.

In casi come questo dobbiamo fare uso di un modello matematico. Tra i modelli matematici capaci di descrivere la concentrazione di un inquinante, o di una sostanza odorifera, i più utilizzati sono i modelli di dispersione.

E tra i modelli di dispersione, un tipo ancora oggi utilizzato è quello più semplice, rappresentato dai modelli stazionari, tra i quali AERMOD è un esempio famoso.

Ma: cos’è un modello “stazionario”, e quali sono le ipotesi che gli soggiacciono?

Per comprenderlo dobbiamo fare un salto indietro nel tempo, agli anni ’60 e ’70 del secolo scorso, quando i calcolatori elettronici erano ancora rarissimi, ed i calcoli erano compiuti usando le tavole numeriche, il regolo, e per i più fortunati una calcolatrice elettromeccanica.

Se volete farvi un’idea della tecnologia allora disponibile, e non lo avete già fatto, potete guardare lo splendido film Il diritto di contare. Guardandolo con attenzione, non vi sfuggirà che la versione originale del calcolo delle orbite nei primi voli del programma Mercury era compiuta usando metodi “analitici”, poi soppiantati dai metodi “numerici”, imposti dalle circostanze quando l’uso di lanciatori più potenti, ed i primi voli ad orbita multipla, richiesero di considerare effetti più complessi.

Ecco: il desiderio di una soluzione analitica. Di una formula che si possa, volendo, tabulare una volta per tutte. Tradurre in una collezione di nomogrammi, o di regoli calcolatori.

Ed in effetti, i primissimi modelli di dispersione non erano, come oggi, programmi per calcolatore, ma manuali comprendenti tavole numeriche, regoli, diagrammi. Nel mio ufficio, a Servizi Territorio srl, ne ho ancora uno, di provenienza ESSO, del 1972.

Ma: soluzione analitica di cosa? Delle equazioni di trasporto e diffusione in atmosfera dei traccianti gassosi non reattivi.

Queste equazioni, che potete trovare su ogni libro di testo che si occupi di dispersione di inquinanti in aria, e su Wikipedia, sono costituite dall’accoppiamento delle equazioni di Navier-Stokes, che descrivono l’andamento temporale e spaziale del campo di vento, e dalle equazioni di trasporto e diffusione vere e proprie. Prese come sono, queste equazioni differenziali alle derivate parziali non ammettono una soluzione esprimibile in forma chiusa. Perché si possa ottenere quest’ultima, occorre apportare alle equazioni originali delle semplificazioni piuttosto drastiche, fondate su alcune ipotesi. Tra queste:

  • L’emissione è costante nel tempo (per l’eternità).
  • Il vento è costante nel tempo (per l’eternità) e uniforme nello spazio.
  • La distribuzione delle concentrazioni nei punti dello spazio ha una forma Gaussiana.
  • La rapidità con cui avviene la diffusione degli inquinanti per effetto della turbolenza è piccola rispetto alla velocità del vento.

Se si ammettono vere queste ipotesi, e si trasformano le equazioni di trasporto e diffusione in modo da tenerne conto, si arriva ad una soluzione analitica, indipendente dal tempo (“stazionaria”), e dalla forma abbastanza semplice da poterla riportare in tavole numeriche abbastanza agili da poterle trasportare a mano.

Che cosa “esce” da un modello stazionario?

Prendiamo, ad esempio, AERMOD, un modello stazionario molto famoso.

Dal suo manuale possiamo vedere che nel modello “entrano” come dati di ingresso una o più “emissioni”, ciascuna caratterizzata da una posizione, da una geometria e da un rateo emissivo, e “la meteorologia”, nella forma di un file contenente i valori medi orari del vento e di altre grandezze che controllano i processi di trasporto e diffusione.

Se finiamo al modello questi dati di ingresso, e lo attiviamo, vediamo che questo produce in uscita una successione di campi di concentrazione, uno per ciascuna ora presente nel file dei dati meteorologici.

Qual’è il vero significato dei campi di concentrazione prodotti dal modello stazionario?

Ottenuti dal modello i nostri campi di concentrazione, viene fortissima la tentazione di credere che ciascuno di essi contenga la “media oraria” delle concentrazioni.

Ebbene, le cose non stanno così.

Le ipotesi che abbiamo vedute, e che soggiacciono alla soluzione analitica, rivelano come stanno in realtà le cose.

Intanto, sappiamo che emissione e vento sono “costanti per l’eternità” (e nello spazio, nel caso del campo di vento). Ogni campo “orario”, quindi, è quello che otterremmo rilasciando per un tempo infinito la medesima emissione nello stesso vento: emissione, e vento, “di quell’ora lì”.

Non stiamo parlando, quindi, di una concentrazione media, ma del risultato di un passaggio al limite, per il tempo che tende ad infinito.

Ed infatti, controprova. Se prendiamo le equazioni della concentrazione stazionaria, così come possiamo vederle per esempio su Wikipedia, e ne calcoliamo l’integrale di volume, troviamo un risultato infinito. Se la concentrazione fosse stata la media oraria di concentrazioni istantanee prodotte da emissioni finite, invece, avremmo dovuto trovare un valore finito, e uguale alla massa rilasciata complessivamente dalle sorgenti emissive.

Che l’integrale di volume delle concentrazioni stazionarie sia infinito non sorprende, se riflettiamo un attimo: l’emissione è avvenuta, a rateo finito, per un tempo infinito. Quindi la massa rilasciata è in effetti infinita.

Se osserviamo l’equazione della concentrazione stazionaria, poi, vediamo che contiene la velocità del vento a denominatore. Se operiamo un passaggio al limite con il tempo che tende a zero, vediamo che i valori locali della concentrazione stazionaria tendono ad infinito. Questo fenomeno è descritto dagli esperti dicendo che “la concentrazione diverge con il diminuire della velocità del vento”.

Ora, in effetti, nei modelli come AERMOD e ISC vediamo che esiste una velocità limite, che viene confrontata ora per ora con la velocità letta dal file dei dati meteorologici. Se quest’ultima risulta inferiore alla velocità limite, allora viene sostituita con la velocità limite.

Se guardiamo bene, vediamo che il valore di questa velocità limite non è prossimo a zero, ma altissimo, uguale nel caso di ISC ad 1 m/s. Una leggenda metropolitana molto diffusa afferma che la presenza della velocità limite è legata al fenomeno della divergenza della concentrazione di cui ho appena scritto.

La realtà, però, è differente. L’ultima ipotesi afferma che perché esista una soluzione analitica, la velocità del vento deve essere maggiore della velocità di retro-diffusione. Che, in condizioni normali, è di regola piuttosto elevata, e che può raggiungere (e qualche volta superare, in condizioni di convezione particolarmente intensa) 1 m/s. Guarda un po’ il caso…

Il fenomeno della divergenza, quindi, è una specie di artefatto matematico: è vero, se la velocità del vento tende a zero l’equazione della concentrazione stazionaria tende ad infinito. Ma molto prima di arrivarci, a zero, l’equazione… smette di esistere!

E gli odori?

Proviamo a tirare le somme.

Abbiamo visto che un modello stazionario, per sua natura costruttiva, produce concentrazioni al suolo che non sono medie orarie, ma situazioni-limite riferite ad un tempo infinito.

La percezione degli odori, invece, avviene alla scala temporale di un singolo ciclo di inspirazione-espirazione: circa 12 secondi, od anche meno.

Non c’è che dire: confrontando queste due scale temporali vediamo che l’uso di un modello stazionario nel caso degli odori ci porta completamente fuori strada.

Eppure, i modelli stazionari sono stati usati piuttosto spesso, nel caso della dispersione di sostanze odorifere. La ragione di ciò è da rintracciare nella forza dell’abitudine (i modelli stazionari erano molto usati per stimare la qualità dell’aria sino a poco fa – diciamo una decina d’anni), e della loro semplicità, che permette di compiere i calcoli con elaboratori piccoli e relativamente economici.

Resta però il fatto che i campi “orari” prodotti dai modelli stazionari non hanno alcun rapporto identificabile con i picchi quasi istantanei che interessano nel caso degli odori.

E così, dopo un lento declino, siamo arrivati ai nostri giorni nei quali si assiste alla tendenza ad una rapidissima estinzione.

Decisamente, nel caso degli odori i modelli stazionari non sono il futuro…

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